die sich mit der zeitlichen Entwicklung des Radius R(t) = D(t) der Friedmann-Kugel verändert. Diese Geschwindigkeit verringert sich mit dem Anwachsen der Friedmann-Kugel und hat heute entsprechend D(t_A) = D_A = R(t_A) = R_SA den Wert, der sich über die Gleichung (Beta, 26a) ausrechnen lässt, wenn b = V_A / c₀ durch den Vergleich der Theorie mit den Messwerten bestimmt wird.

Entsprechend war sie in der Vergangenheit (t < t_A) größer als heute. Die Gleichung (Beta, 26a) markiert den Zustand des Universums bezüglich der darin vorkommenden physikalischen Größen zum heutigen Zeitpunkt t_A.

In Gleichung (Beta, 26a) ist G die Newtonsche Gravitationskonstante, r_A die heutige Materiedichte und R_S = 2MG/c₀²der konstante Schwarzschild-Radius der Friedmann-Kugel. M = 4/3 p r_A D_A³ ist die ebenfalls konstante Masse der Friedmann-Kugel. c₀ ist die bekannte Vakuumlichtgeschwindigkeit.

Bei genauerem Hinsehen zeigt sich, dass V_A eigentlich nicht von c₀ abhängt:

(Beta, 26a’)

Hierdurch ist die sich wegen D(t) zeitlich ändernde effektive Lichtgeschwindigkeit im Wesentlichen auf die zwei Naturkonstanten M und G zurückgeführt, wenn wir die konstant bleibende Masse M jeder denkbaren Friedmann-Kugel ebenfalls als Naturkonstante betrachten.

Falls die Gleichung (Beta, 26a’) wirklich der Realität entsprechen würde, wäre die Lichtgeschwindigkeit zu Beginn der Expansion wegen D(t = 0) = 0 unendlich groß gewesen, um in der sehr fernen Zukunft gegen Null zu gehen. Für uns heutige Beobachter wäre demzufolge V_A = c_* = c₀ zu erwarten. Nehmen wir genau das an, ergibt sich

(Beta, 26a’’)

oder auch

(Beta, 26a’’’)

Hierdurch wird b = V/c₀ = 1, was durch den Vergleich der Beta-Theorie mit den astrophysikalischen Messergebnissen nahegelegt wird. Demnach würde der heutige Friedmann-Kugelradius nur ein Viertel vom zugehörigen Schwarzschildradius betragen. Das bedeutet aber nicht, dass wir innerhalb eines Schwarzen Loches leben, denn außerhalb einer jeden Friedmann-Kugel befindet sich generell weitere Materie mit stets gleicher Dichte wie innerhalb. Das gilt für jeden Ort und Zeitpunkt (Kosmologisches Prinzip).

Die Ursache für die veränderliche effektive Geschwindigkeit der Photonen ist die Expansion des Universums.

Wir untersuchen hier, welche Gleichungen sich für den Rotverschiebungsabstand bzw. das Hubble-Gesetz ergeben, wenn von vorn herein eine zeitabhängige Geschwindigkeit der Photonen im expandierenden Universum angenommen wird. Diese Annahme ergibt sich bei genauerer Betrachtung der Robertson-Walker-Metrik ganz zwangsläufig.

Wir geben hier nur das Ergebnis der Ableitung des Rotverschiebungsabstandes an und vergleichen sie mit den Messungen der Astrophysik.

Hinweis:

Die eigentliche und vollständige Veröffentlichung der Ableitung des Rotverschiebungsabstandes bleibt einem späteren Zeitpunkt vorbehalten.

2. Der Rotverschiebungsabstand

Falls die Lichtgeschwindigkeit von vorn herein als zeitabhängig betrachtet wird, erhalten wir für den Rotverschiebungsabstand im flachen Universum

(1)

Hierin ist

(2)

D_A ist der heutige Radius einer jeden denkbaren Friedmann-Kugel und R_S deren Schwarzschild-Radius. B ist dimensionslos.

Der erste Rotverschiebungsterm von Gleichung (1) wird durch die Expansion des Universums verursacht, während der zweite Rotverschiebungsterm durch die Eigenbewegung der Photonen durch das Universum entsteht.

2.1 Das Hubble-Gesetz

Das Hubble-Gesetz ergibt sich über die Definition der scheinbaren Helligkeit m

(3)

Hier wurde für D_A eine scheinbare Grenzhelligkeit m_A eingeführt. Das Einsetzen von Gleichung (1) in Gleichung (3) liefert das gesuchte Hubble-Gesetz

(4)

Die zwei freien Parameter m_A und B können durch den Vergleich mit einem Hubble-Diagramm bestimmt werden.

2.2 Das Winkelausdehnungs-Rotverschiebungs-Gesetz

Dieses Gesetz ergibt sich für große Abstände über

(5)

(6)

In dieser Gleichung ist j die messbare Winkelausdehnung und d die lineare Größe des beobachteten extragalaktischen Objektes.

In logarithmischer Form ergibt Gleichung (6)

(7)

2.3 Das Anzahl-Rotverschiebungs-Gesetz

Im flachen euklidischen Raum gilt für das (Lichtweg-)Kugelvolumen die Gleichung

(8)

Führen wir hier Gleichung (1) ein

(9)

erhalten wir für das Anzahl-Rotverschiebungs-Gesetz

(10)

worin N_A die im Kugelvolumen V_A erwartete Anzahl von Objekten bedeutet und außerdem

(11)

gilt. Mit h wurde die Anzahldichte bezeichnet. In logarithmischer Form ergibt sich

(12)

3. Der Vergleich mit den Messergebnissen der Astrophysik

Gelingt es uns, B und D_A aus verfügbaren astrophysikalischen Messwerten zu bestimmen, können wir Aussagen zum aktuellen Radius der Friedmann-Kugel und zu deren Masse treffen.

Werten wir hierzu zuerst das Anzahl-Rotverschiebungs-Diagramm für 48.690 Quasare nach M.-P. Véron-Cetty (2003) [1] aus, ergibt sich in etwa B = 0,48:

Abbildung 1: Anzahl-Rotverschiebungs-Diagramm für 48.690 Quasare nach Véron-Cetty 2003

Die rote gestrichelte krumme Linie ist eine bestangepasste Kurve durch die Messwerte, deren Gleichung in Abb. 1 ebenfalls angegeben ist. Die blaue Kurve entspricht der Anzahl-Rotverschiebungs-Relation, wie sie in der Literatur anzutreffen ist [vgl. Gleichung (II, yyy)]. Sie erwartet für große Rotverschiebungen wesentlich zu viele Objekte. Das gilt auch dann, wenn diese Kurve am hier sichtbaren Fußpunkt genau auf die bestangepasste Kurve geschoben wird.

Sehr ähnlich verhält es sich, wenn wir die Daten derselben Autoren aus dem Jahr 2006 verwenden:

Abbildung1a: Anzahl-Rotverschiebungs-Diagramm für 84.680 Quasare nach Véron-Cetty 2006

Der gefundene Wert von B passt auch recht gut zu dem zugehörigen Hubble-Diagramm, wie die folgende Abbildung eindrucksvoll zeigt:

Abbildung 2: Hubble-Diagramm für 48.690 Quasare nach Véron-Cetty 2003

Die rote gestrichelte krumme Linie ist wieder eine bestangepasste Kurve durch die 45 Intervallmittelwerte der Quasar-Messwerte (Vierecke). Blau eingezeichnet wurde die bestangepasste Kurve nur durch die Radiogalaxien (Dreiecke).

Die Abbildung 2 lässt vermuten, dass Radiogalaxien und Quasare zu ein und derselben Gattung extragalaktischer Objekte gehören.

Interessant ist noch, dass die Mittelwerte der hellsten Quasare je Intervall (Pluszeichen rechts im Bild) sehr nahe an der Kurve der Radiogalaxien liegt. - Die Mittelwerte der lichtschwächsten Quasare (Kreuze links) streuen allerdings über einen großen Bereich im Hubble-Diagramm.

Mit B = 0,48 ergibt sich für die scheinbare Grenzhelligkeit m_A = 19,73. Diesen Wert werden wir weiter unten zur Bestimmung der durchschnittlichen absoluten Helligkeit der Quasare verwenden.

Auch beim Hubble-Diagramm existiert eine sehr gute Übereinstimmung von B und m_A zwischen den Daten der beiden Jahre 2003 und 2006, wie die nächste Abbildung zeigt:

Abbildung 2a: Hubble-Diagramm für 84.680 Quasare nach Véron-Cetty 2006

Betrachten wir nun das Winkelausdehnungs-Rotverschiebungs-Diagramm nach K. Nilsson u.a. (1993) [2]:

Abbildung 3: Winkelausdehnungs-Rotverschiebungs-Diagramm nach K. Nilson 1993

Rot punktiert ist wieder die bestangepasste Kurve. Die blaue stark nach oben gekrümmte Kurve entspricht der Gleichung, die der allgemeinen Fachliteratur entnommen werden kann [vgl. Gleichung (III, zzz)].

Es fällt auf, dass die hier angegebene Gleichung wesentlich besser zu den Messwerten passt, als die aus der Literatur. Speziell ergibt sich kein theoretisches Minimum für z = 1,25, das von den Messwerten auch nicht realisiert wird.

Die mittlere lineare Ausdehnung d der extragalaktischen Objekte lässt sich erst bestimmen, wenn D_A bekannt ist.

Um den Wert von D_A herauszufinden, verwenden wir das Hubble-Diagramm von Galaxien nach J. Huchra et al. (1983) [3]:

Abbildung 4: Hubble-Diagramm von Galaxien nach J. Huchra 1983

Die Anpassung der Theorie an dieses Diagramm führt mit B = 0,48 auf m_A = 22,32. Mit diesen beiden Parametern gehen wir in ein Hubble-Diagramm für Galaxien hinein, deren absolute Helligkeiten bekannt sind, weil in ihnen Cepheiden (sogenannte Standardkerzen) gefunden worden sind:

Abbildung 5: Hubble-Diagramm von Galaxien mit bekannter absoluter Helligkeit

Für die Abb. 5 haben wir folgenden Daten verwendet:

Objekt	cz [km / s]	lg cz	m	M	Quelle / Hinweise
M100 = NGC 4321	1560	3,1931	10,26	-20,9	W. L. Freedman u.a., 1994 [4]
M96 = NGC 3368	899	2,9538	10,32	-20	N. R. Tanvir u.a., 1995 [5]
NGC 4571	343	2,5353	12,09	-18,82	M. J. Pierce u.a., 1994 [6]
IC 4182	339	2,5302	9,55	-19,92	A. Sandage u.a., 1992 [7]
Mittelwertobjekt	785,3	2,8950	10,56	-19,91

Tabelle 1: Einige Galaxien mit bekannter absoluter Helligkeit

In der genannten Literatur nicht gefundene Messwerte wurden den Aufsätzen von J. Huchra u.a. (1983) [3], R. C. Kraan-Korteweg u.a. (1979) [8] und A. Sandage u.a. (1975) [9] entnommen.

Das Mittelwertobjekt mit der absoluten Helligkeit M = -19,91 und einer Rotverschiebung von lg cz = 2,8950 liegt direkt auf der theoretischen Kurve. Deshalb können wir über die einfache Gleichung

(13)

D_A = 2.793 Mpc berechnen. Hieraus ergibt sich d = 7,1 * 10^-5* D_A = 212 kpc für die mittlere lineare Größe der extragalaktischen Objekte von Abb. 3.

4. Bestimmung der aktuellen physikalischen Parameter vom expandierenden Universum

Aus B = 0,48 und Gl. (2) folgt ein einfaches Zahlenverhältnis zwischen dem heutigen Radius D_A einer jeden Friedmann-Kugel und deren Schwarzschild-Radius R_S:

(2a)

Wegen D_A = 2.793 Mpc ergibt sich für den Schwarzschild-Radius R_S = 5.388 Mpc. Demnach befindet sich die gesamte Friedmann-Kugel zurzeit innerhalb des ihr zuordenbaren Schwarzschild-Radius. Das bedeutet aber nicht, dass das sichtbare Universum ein Schwarzes Loch ist, denn außerhalb einer jeden Friedmann-Kugel befindet sich stets ebenfalls Materie mit gleicher Dichte wie innerhalb. (Schwarze Löcher werden mithilfe der äußeren Schwarzschild-Metrik beschrieben, die außerhalb der Zentralmasse keine Materie zulässt.)

Der hier betrachtete Rotverschiebungsabstand, wurde für den flachen euklidischen Raum (Krümmungskonstante e = 0) abgeleitet. Unter diesen Bedingungen erfolgt die Expansion des Universums entsprechend der Friedmann-Differentialgleichung

(14)

mit der Lösung

(15)

Beziehen wir R und t auf heute, d.h. benutzen wir den Zeitpunkt t_A und R(t_A) = D_A, können wir das aktuelle Alter des Universums (die bisherige Expansionszeit) ausrechnen indem wir die Gleichung (15) etwas umschreiben:

(15a)

Setzen wir hier die bekannten Werte für D_A und c ein, ergibt sich ein Expansionsalter der Friedmann-Kugel von t_A = 12,66 * 10⁹ Jahre. Wir haben 1 Mpc = 3,086 * 10²⁴cm und c = 2,99792458 * 10¹⁰ cm/s verwendet.

Über die Gleichungen (14) und (15) berechnen wir den heutigen Hubble-Parameter

(16)

zu H(t_A) = 51,52 km / (s Mpc). Hieraus ergibt sich die heutige Hubble-Zeit t_H = 18,99 * 10⁹ Jahre. Sie ist einfach der Kehrwert vom aktuellen Hubble-Parameter.

Aus dem Schwarzschild-Radius R_S = 2MG/c² bekommen wir mithilfe der Gravitationskonstanten G = 6,6726 * 10^-8 cm³ g ^–1 s^-2 M = 1,12 * 10⁵⁶ g als Masse der Friedmann-Kugel.

Betrachten wir R_S als Naturkonstante, weil c, G, und auch M Naturkonstanten sind, ergibt sich der Hinweis, dass der Parameter B zu unterschiedlichen Zeiten nach dem Expansionsbeginn verschieden groß ist, weil der in Gleichung (2) auftretende Radius R zeitabhängig ist. Dies würde bedeuten, dass zu einem späteren Zeitpunkt messende Astrophysiker einen anderen Wert für B feststellen würden als die heute messenden Astrophysiker. Diese Aussage würde auch für die Vergangenheit gelten. Gemäß Gleichung (2) wäre ein Anwachsen von B mit fortschreitender Expansion des Universums zu erwarten. Die Abb. 6 zeigt ein Hubble-Diagramm in dem theoretische Kurven mit drei unterschiedlichen Werten von B eingezeichnet worden sind. Der Parameter m_A wurde jeweils so angepasst, dass die Messwerte von J. Huchra et al. gut beschrieben werden.

Abbildung 6: Hubble-Diagramm von Galaxien nach J. Huchra 1983 im Vergleich mit drei verschiedenen Wertekombinationen von B und m_A

Eine andere, allerdings etwas abwegige Möglichkeit wäre, anzunehmen, dass der Parameter B zu jedem beliebigen Zeitpunkt denselben Wert hat. Dann allerdings müsste eine der erwähnten Naturkonstanten mit der Zeit variieren.

Zusammengefasst ergeben sich die folgenden aktuellen Parameter für das Universum:

Radius der Friedmann-Kugel

[Mpc]

Schwarzschild-Radius der Friedmann-Kugel

[Mpc]

Expansionszeit

[Jahre]

Hubble-Parameter

[km /(s Mpc)]

Hubble-Zeit

[Jahre]

Masse der Friedmann-Kugel

[g]

D_A = 2.793

R_S = 5.388

t_A = 12,66 * 10⁹

H(t_A) = 51,52

t_H = 18,99 * 10⁹

M = 1,12 * 10⁵⁶

Tabelle 2: Die aktuellen physikalischen Parameter vom Universum

Diese Werte gelten für eine Krümmungskonstante e = 0.

Literatur:

[1] Véron-Cetty, M.-P. & Véron P.:
"A Catalogue of Quasars and Active Nuclei", 11th edition, August 2003, http://www.obs-hp.fr
[2] Nilsson, K.; Valtonen, M. J.; Kotilainen, J. und Jaakkola, T.:
The Astrophysical Journal, 413 (1993) S.453

[3] Huchra, J.; Davis, M.; Latham, D. und Tonry, J.:
The Astrophysical Journal Supplement Series, 52 (1983), S.89

[4] Freedman, W. L., et al., 1994, Nature, 371, 757

[5] Tanvir, N. R., Shanks, T., Ferguson, H. C., Robinson, D. R. T., 1995, Nature, 377, 27

[6] Pierce, M. J.; Welch, D. L.; McClure, R. D.; van den Bergh, S.; Racine,R. und Stetson, P. B.:
Nature 371 (1994), S.385

[7] Sandage, A.; Saha, A.; Tammann, G. A.; Panagia, N. und Macchetto, D.:
The Astrophysical Journal, 401 (1992), L7

[8] Kraan-Korteweg, R. C. und Tammann, G. A.:
Astronomische Nachrichten 300 (1979), Heft 4, S.181

[9] Sandage, A. und Tammann, G. A.:
The Astrophysical Journal, 196 (1975), S.313

[10] www.steffen-haase.net

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Internet-Erstausgabe: 27.09.2007

Letzte inhaltliche Änderung: 29.12.2007
Letzte Schreibfehlerkorrektur: 29.12.2007

[1] Der Index A weist auf den heutigen Zeitpunkt (heute) hin, für den wir stets t_A schreiben. Das A steht für Absorption der von den Galaxien i.d.R. vor sehr langer Zeit ausgesandten, heute und hier (auf unserer Erde, in unserer Galaxie) beobachteten - in unseren Messgeräten absorbierten - Photonen. t_A ist die absolute (!) Zeit, die sich auf den Zeitpunkt des Urknalls bezieht. Sie erweist sich für alle heutigen Beobachter als gleich groß.