Zur Quantisierung der Gravitation
Nach
dem Auffinden einer Hamilton-Funktion,
die aus der Einsteinschen Allgemeinen
Relativitätstheorie (ART) folgt, ergeben sich im Rahmen der klassischen
Quantentheorie (hier wird nicht die Quantenfeldtheorie betrachtet) gleich drei
verschiedene Möglichkeiten, diese Hamilton-Funktion
zu quantisieren:
1) Schrödinger-Gleichung
Hier
wird die allgemein-relativistische Hamilton-Funktion
für Geschwindigkeiten entwickelt, die klein sind im Vergleich zur
Lichtgeschwindigkeit.
Mit
dieser Gleichung sollte sich z. B. das Planetensystem beschreiben lassen.
Es
ergibt sich aber, dass trotz der Näherung für kleine Geschwindigkeiten das
Gravitationsfeld „beliebig“ stark sein kann. Die in der Literatur zurzeit
allgemein akzeptierte Vermutung ist allerdings, dass sehr starke
Gravitationsfelder große Geschwindigkeiten „generieren“, dass heißt, dass die
Näherung für kleine Geschwindigkeiten nicht zu „beliebig“ starken
Gravitationsfeldern passt.
Hierüber
wird zurzeit noch nachgedacht, denn bei genauer Betrachtung der ungenäherten
allgemein-relativistischen Hamilton-Funktion
fällt auf, dass diese für „beliebig“ starke Gravitation insgesamt verschwindet.
Dieser Umstand deutet an, dass die Schrödinger-Gleichung
tatsächlich auch für „beliebig“ starke Gravitation gültig sein könnte. ….
2) Klein-Gordon-Gleichung
In
diesem Fall wird die ungenäherte allgemein-relativistische Hamilton-Funktion quantisiert, d. h.
diese Gleichung gilt für Geschwindigkeiten bis hinauf zur Lichtgeschwindigkeit.
Es
ergibt sich, dass auch diese Gleichung für „beliebig“ starke Gravitation nicht
elementar gelöst werden kann. Aus diesem Grund wird hier nur die Näherung für
schwache Gravitation vorgestellt.
3) Dirac-Gleichung
Hier
nun wird die Klein-Gordon-Gleichung
mit der Diracschen Methode
linearisiert. Die Untersuchungen hierzu laufen gerade an.
Die
Erwartung ist, dass z. B. die Eigendrehimpulse der Planeten im Gebäude der
Theorie eine Rolle spielen. ….
Dies
entspricht der Tatsache, dass im Rahmen der Wasserstoffatomtheorie der Spin der
Elektronen erst durch die Diracsche
Linearisierung der Klein-Gordon-Gleichung
gewissermaßen automatisch in der Theorie erscheint.
(Der
Spin ist kein relativistischer Effekt, wie allgemein bekannt sein dürfte.)
Allgemeiner Hinweis:
Erwarten
Sie im Folgenden keine Ableitung der aus der ART folgenden Hamilton-Funktion. Das bleibt einer
späteren Veröffentlichung vorbehalten.
Zurzeit
werden an dieser Stelle nur Ergebnisse meiner Gedanken und Rechnungen zur
klassischen Quantengravitationstheorie (QGT) mitgeteilt.
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Zu 1) Schrödinger-Gleichung
(SG)
Nach
Subtraktion der Ruheenergie E0 noch vor der Quantisierung der
allgemein-relativistischen Hamilton-Funktion
ergibt sich für schwache Gravitationsfelder die folgende radiale SG
Vorstehend:
Gleichung (1)
In
dieser Gleichung ist ρ der auf den Schwarzschild-Radius
rS = 2M0G/c2 der ruhenden Zentralmasse M0
normierte und hierdurch dimensionslose radiale Abstand der Probemasse m0
vom Gravitationszentrum. G ist die Gravitationskonstante und c die
Lichtgeschwindigkeit. Mit l wurde die Drehimpulsquantenzahl bezeichnet. E ist
die quantisierte Energie und E0 die Ruheenergie des Probeteilchens.
A ist eine Konstante mit der Dimension des Kehrwertes einer Energie.
Wird
die Entwicklung für schwaches Gravitationsfeld nur bis 1/ρ2 berücksichtigt,
finden wir für die Eigenwerte der Energie
(2)
In
dieser Gleichung ist n die Hauptquantenzahl und αG ist als
gravitative Kopplungskonstante
(3)
im
Wesentlichen der Quotient aus der Ruhemasse m0 des Probekörpers (z. B.
eines Planeten) und einer „elementaren“ Sternmasse MG. Während MG
tatsächlich konstant ist, hängt demnach αG stets von den
einzelnen Ruhemassen der im Gravitationsfeld betrachteten Probekörper ab.
Die
Ruhemasse der Sonne ist ein ganzzahliges Vielfaches N der „elementaren“ Sternmasse:
M0Sonne = N MG, wobei N = 14 gilt. N spielt in
der QGT in etwa die Rolle der Kernladungszahl Z, die aus der Atomphysik bekannt
ist.
Für
die „elementare“ Sternmasse wird über die Anpassung von Gleichung (2) an die
energetischen Verhältnisse im Sonnensystem der Wert MG = 1,4207138 *
1032 g gefunden.
Wegen
Gleichung (3) kann die Gleichung (2) auch etwas anders hingeschrieben werden:
(2a)
Wird
die „Spektral“-Gleichung (2) bis zur dritten Ordnung entwickelt, ergibt sich
unter Berücksichtigung des Minuszeichens vor der Wurzel
(4)
Das
Besondere hieran ist, dass der 2. Term mit positiven Vorzeichen eingeht. Wie
sich zeigt ist dieser Term klein im Vergleich zum ersten Term und hierdurch
kaum wirksam.
Wir
vergleichen noch die mit Gleichung (4) berechneten Energiewerte mit den sich nach
der Newtonschen
Gravitationstheorie ergebenden Energiewerten der Planeten in unserem
Sonnensystem:
n |
E(n) |
E_Newton |
Planet |
1 |
-5,02394E+37 |
-4,07715E+39 |
Merkur |
2 |
-2,97715E+40 |
-2,94461E+40 |
Venus |
3 |
-2,58433E+40 |
-2,65015E+40 |
Erde |
4 |
-1,45369E+37 |
-1,74352E+39 |
Mars |
5 |
(Ceres) |
||
6 |
-2,07568E+47 |
-1,62016E+42 |
Jupiter |
7 |
-4,09548E+45 |
-2,64459E+41 |
Saturn |
8 |
-1,13102E+43 |
-2,01627E+40 |
Uranus |
9 |
-1,46114E+43 |
-1,51639E+40 |
Neptun |
10 |
(Pluto) |
||
11 |
(Eris) |
Tabelle
1
Die folgende Abbildung 1 zeigt die Daten der Tabelle 1 in einer anschaulichen
Form:
Hinweis:
Die berechneten Energiewerte sind mit -1 multipliziert worden und die dünnen Linien
sind Trendlinien, deren Gleichungen ebenfalls in der Abbildung gezeigt werden.
Durch
die Anpassung der Energieeigenwerte der QGT an die Newtonschen Werte ergibt sich z. B. für die Kopplungskonstante
der Venus αG(Venus) = 0,000471.
Dieser recht kleine Wert rechtfertigt im Nachhinein die Entwicklung der
„Spektral“-Gleichung (2).
Zum Vergleich seien hier auch die gravitativen Koppelkonstanten der
anderen Planeten angegeben (die Einheit der angegebenen Planetenmassen ist g):
Planet |
n |
α_G |
m_0 |
Merkur |
1 |
3,532E-05 |
3,584E+26 |
Venus |
2 |
4,710E-04 |
4,778E+27 |
Erde |
3 |
5,887E-04 |
5,973E+27 |
Mars |
4 |
5,887E-05 |
5,973E+26 |
(Ceres) |
5 |
||
Jupiter |
6 |
1,872E-01 |
1,899E+30 |
Saturn |
7 |
5,605E-02 |
5,686E+29 |
Uranus |
8 |
8,596E-03 |
8,721E+28 |
Neptun |
9 |
1,013E-02 |
1,027E+29 |
(Pluto) |
10 |
||
(Eris) |
11 |
Tabelle 2
Die folgende Abbildung 2 zeigt die Daten der Tabelle 2 in einer anschaulichen
Form:
Allerdings ist in Tabelle 1 auch zu erkennen, dass die beiden berechneten
Energiewerte bis zu einem Faktor von etwa 105 voneinander abweichen.
Speziell die besonders schweren Planeten Jupiter und Saturn wollen nicht so recht
zur Theorie passen [oder ist es umgekehrt? J].
Für einen weiteren Vergleich sind die Energiewerte noch klassisch direkt nach
der ART zu berechnen. Dies ist eine Aufgabe für später.
In
der radialen SG (1) ist ein Term proportional zu 1/ρ3
enthalten. Dieser Term erschwert das Auffinden der zugehörigen genaueren Eigenwertgleichung.
In
diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in der Einsteinschen ART ein derartiger Term für die Lichtablenkung
und die Perihel-Drehung der Planeten verantwortlich zeichnet.
Sollte
der Leser dieser Zeilen gerade nichts Wichtigeres vorhaben, könnte er
versuchen, Gleichung (1) auch für 1/ρ3 ungleich null zu
lösen. J Über eine
Diskussion der Lösung mit mir würde ich mich natürlich freuen. …..
Anmerkung:
Der
erste 1. Term von Gleichung (3) entspricht dem Spektral-Term vom
Wasserstoffatom, wenn αG durch die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α ersetzt wird.
Dies
ist sehr interessant, wurde doch im Rahmen der QGT das Gravitationsfeld nicht entsprechend der in der
Atomtheorie üblichen minimalen Kopplung eingeführt!
Zu 2) Klein-Gordon-Gleichung
(KGG)
Hier
ergibt sich die für schwaches Gravitationsfeld bis 1/ρ3 entwickelte radiale Gleichung zu
(5)
mit den Abkürzungen
(6)
Hierin
ist η dimensionslos und B ist eine zusammengesetzte Naturkonstante mit der
Dimension des Kehrwertes eines Energiequadrates.
Ein Vergleich der
Abkürzungen mit Gleichung (1) zeigt, dass in diesem Fall die Energien generell
als Quadrate auftreten. Demnach sind in der Eigenwertgleichung zwei Wurzeln zu
erwarten, was durch die Rechnung bestätigt wird:
(7)
Diese Eigenwertgleichung
gehört zur Näherung für schwaches Gravitationsfeld bis 1/ρ2 und
αG
hat wieder die Bedeutung der gravitativen Kopplungskonstante, die für
jede Probemasse m0 einen anderen Wert aufweist. Für die
Zusammensetzung von αG gilt auch hier Gleichung (3). Hierdurch
kann Gleichung (7) etwas umgeschrieben werden
(7a)
Über die physikalische Bedeutung dieser Gleichung
gilt es noch nachzudenken. …..
Für den Leser dieser
Zeilen gilt wieder das schon oben geschriebene. J
Zu 3) Dirac-Gleichung
(DG)
Später!
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Copyright by Steffen Haase, Leipzig (2010)
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Erstausgabe
im Internet: 28.02.2010
Letzte
inhaltliche Änderung: 07.03.2010
Letzte Schreibfehlerkorrektur: 07.03.2010