Zur Quantisierung der Gravitation

 

Nach dem Auffinden einer Hamilton-Funktion, die aus der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) folgt, ergeben sich im Rahmen der klassischen Quantentheorie (hier wird nicht die Quantenfeldtheorie betrachtet) gleich drei verschiedene Möglichkeiten, diese Hamilton-Funktion zu quantisieren:

 

 

1) Schrödinger-Gleichung

Hier wird die allgemein-relativistische Hamilton-Funktion für Geschwindigkeiten entwickelt, die klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.

Mit dieser Gleichung sollte sich z. B. das Planetensystem beschreiben lassen.

Es ergibt sich aber, dass trotz der Näherung für kleine Geschwindigkeiten das Gravitationsfeld „beliebig“ stark sein kann. Die in der Literatur zurzeit allgemein akzeptierte Vermutung ist allerdings, dass sehr starke Gravitationsfelder große Geschwindigkeiten „generieren“, dass heißt, dass die Näherung für kleine Geschwindigkeiten nicht zu „beliebig“ starken Gravitationsfeldern passt.

Hierüber wird zurzeit noch nachgedacht, denn bei genauer Betrachtung der ungenäherten allgemein-relativistischen Hamilton-Funktion fällt auf, dass diese für „beliebig“ starke Gravitation insgesamt verschwindet. Dieser Umstand deutet an, dass die Schrödinger-Gleichung tatsächlich auch für „beliebig“ starke Gravitation gültig sein könnte. ….

 

 

2) Klein-Gordon-Gleichung

In diesem Fall wird die ungenäherte allgemein-relativistische Hamilton-Funktion quantisiert, d. h. diese Gleichung gilt für Geschwindigkeiten bis hinauf zur Lichtgeschwindigkeit.

Es ergibt sich, dass auch diese Gleichung für „beliebig“ starke Gravitation nicht elementar gelöst werden kann. Aus diesem Grund wird hier nur die Näherung für schwache Gravitation vorgestellt.

 

 

3) Dirac-Gleichung

Hier nun wird die Klein-Gordon-Gleichung mit der Diracschen Methode linearisiert. Die Untersuchungen hierzu laufen gerade an.

Die Erwartung ist, dass z. B. die Eigendrehimpulse der Planeten im Gebäude der Theorie eine Rolle spielen. ….

Dies entspricht der Tatsache, dass im Rahmen der Wasserstoffatomtheorie der Spin der Elektronen erst durch die Diracsche Linearisierung der Klein-Gordon-Gleichung gewissermaßen automatisch in der Theorie erscheint.

(Der Spin ist kein relativistischer Effekt, wie allgemein bekannt sein dürfte.)

 

 

Allgemeiner Hinweis:

Erwarten Sie im Folgenden keine Ableitung der aus der ART folgenden Hamilton-Funktion. Das bleibt einer späteren Veröffentlichung vorbehalten.

Zurzeit werden an dieser Stelle nur Ergebnisse meiner Gedanken und Rechnungen zur klassischen Quantengravitationstheorie (QGT) mitgeteilt.

 

 

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Zu 1) Schrödinger-Gleichung (SG)

 

Nach Subtraktion der Ruheenergie E0 noch vor der Quantisierung der allgemein-relativistischen Hamilton-Funktion ergibt sich für schwache Gravitationsfelder die folgende radiale SG

 

 

 

 

Vorstehend: Gleichung (1)

 

In dieser Gleichung ist ρ der auf den Schwarzschild-Radius rS = 2M0G/c2 der ruhenden Zentralmasse M0 normierte und hierdurch dimensionslose radiale Abstand der Probemasse m0 vom Gravitationszentrum. G ist die Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit. Mit l wurde die Drehimpulsquantenzahl bezeichnet. E ist die quantisierte Energie und E0 die Ruheenergie des Probeteilchens. A ist eine Konstante mit der Dimension des Kehrwertes einer Energie.

 

Wird die Entwicklung für schwaches Gravitationsfeld nur bis 1/ρ2 berücksichtigt, finden wir für die Eigenwerte der Energie

 

                   (2)

 

 

In dieser Gleichung ist n die Hauptquantenzahl und αG ist als gravitative Kopplungskonstante

 

     (3)

 

 

im Wesentlichen der Quotient aus der Ruhemasse m0 des Probekörpers (z. B. eines Planeten) und einer „elementaren“ Sternmasse MG. Während MG tatsächlich konstant ist, hängt demnach αG stets von den einzelnen Ruhemassen der im Gravitationsfeld betrachteten Probekörper ab.

Die Ruhemasse der Sonne ist ein ganzzahliges Vielfaches N der „elementaren“ Sternmasse: M0Sonne = N MG, wobei N = 14 gilt. N spielt in der QGT in etwa die Rolle der Kernladungszahl Z, die aus der Atomphysik bekannt ist.

Für die „elementare“ Sternmasse wird über die Anpassung von Gleichung (2) an die energetischen Verhältnisse im Sonnensystem der Wert MG = 1,4207138 * 1032 g gefunden.

 

Wegen Gleichung (3) kann die Gleichung (2) auch etwas anders hingeschrieben werden:

 

                          (2a)

 

 

Wird die „Spektral“-Gleichung (2) bis zur dritten Ordnung entwickelt, ergibt sich unter Berücksichtigung des Minuszeichens vor der Wurzel

 

                      (4)

 

 

Das Besondere hieran ist, dass der 2. Term mit positiven Vorzeichen eingeht. Wie sich zeigt ist dieser Term klein im Vergleich zum ersten Term und hierdurch kaum wirksam.

 

Wir vergleichen noch die mit Gleichung (4) berechneten Energiewerte mit den sich nach der Newtonschen Gravitationstheorie ergebenden Energiewerten der Planeten in unserem Sonnensystem:

 

 n

    E(n)

  E_Newton

Planet

1

-5,02394E+37

-4,07715E+39

Merkur

2

-2,97715E+40

-2,94461E+40

Venus

3

-2,58433E+40

-2,65015E+40

Erde

4

-1,45369E+37

-1,74352E+39

Mars

5

(Ceres)

6

-2,07568E+47

-1,62016E+42

Jupiter

7

-4,09548E+45

-2,64459E+41

Saturn

8

-1,13102E+43

-2,01627E+40

Uranus

9

-1,46114E+43

-1,51639E+40

Neptun

10

(Pluto)

11

(Eris)

 

Tabelle 1

 

Die folgende Abbildung 1 zeigt die Daten der Tabelle 1 in einer anschaulichen Form:

 

 

 

Hinweis: Die berechneten Energiewerte sind mit -1 multipliziert worden und die dünnen Linien sind Trendlinien, deren Gleichungen ebenfalls in der Abbildung gezeigt werden.

 

Durch die Anpassung der Energieeigenwerte der QGT an die Newtonschen Werte ergibt sich z. B. für die Kopplungskonstante der Venus αG(Venus) = 0,000471. Dieser recht kleine Wert rechtfertigt im Nachhinein die Entwicklung der „Spektral“-Gleichung (2).

 

Zum Vergleich seien hier auch die gravitativen Koppelkonstanten der anderen Planeten angegeben (die Einheit der angegebenen Planetenmassen ist g):

 

Planet

n

α_G

m_0

Merkur

1

3,532E-05

3,584E+26

Venus

2

4,710E-04

4,778E+27

Erde

3

5,887E-04

5,973E+27

Mars

4

5,887E-05

5,973E+26

(Ceres)

5

Jupiter

6

1,872E-01

1,899E+30

Saturn

7

5,605E-02

5,686E+29

Uranus

8

8,596E-03

8,721E+28

Neptun

9

1,013E-02

1,027E+29

(Pluto)

10

(Eris)

11

 

Tabelle 2

 

Die folgende Abbildung 2 zeigt die Daten der Tabelle 2 in einer anschaulichen Form:

 

 

Allerdings ist in Tabelle 1 auch zu erkennen, dass die beiden berechneten Energiewerte bis zu einem Faktor von etwa 105 voneinander abweichen. Speziell die besonders schweren Planeten Jupiter und Saturn wollen nicht so recht zur Theorie passen [oder ist es umgekehrt? J].

Für einen weiteren Vergleich sind die Energiewerte noch klassisch direkt nach der ART zu berechnen. Dies ist eine Aufgabe für später.

 

In der radialen SG (1) ist ein Term proportional zu 1/ρ3 enthalten. Dieser Term erschwert das Auffinden der zugehörigen genaueren Eigenwertgleichung.

In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass in der Einsteinschen ART ein derartiger Term für die Lichtablenkung und die Perihel-Drehung der Planeten verantwortlich zeichnet.

Sollte der Leser dieser Zeilen gerade nichts Wichtigeres vorhaben, könnte er versuchen, Gleichung (1) auch für 1/ρ3 ungleich null zu lösen. J Über eine Diskussion der Lösung mit mir würde ich mich natürlich freuen. …..

 

Anmerkung:

Der erste 1. Term von Gleichung (3) entspricht dem Spektral-Term vom Wasserstoffatom, wenn αG durch die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α ersetzt wird.

Dies ist sehr interessant, wurde doch im Rahmen der QGT das Gravitationsfeld nicht entsprechend der in der Atomtheorie üblichen minimalen Kopplung eingeführt!

 

 

 

Zu 2) Klein-Gordon-Gleichung (KGG)

 

Hier ergibt sich die für schwaches Gravitationsfeld bis 1/ρ3 entwickelte radiale Gleichung zu

 

        (5)

 

 

mit den Abkürzungen

 

                       (6)

 

Hierin ist η dimensionslos und B ist eine zusammengesetzte Naturkonstante mit der Dimension des Kehrwertes eines Energiequadrates.

 

Ein Vergleich der Abkürzungen mit Gleichung (1) zeigt, dass in diesem Fall die Energien generell als Quadrate auftreten. Demnach sind in der Eigenwertgleichung zwei Wurzeln zu erwarten, was durch die Rechnung bestätigt wird:

 

              (7)

 

 

Diese Eigenwertgleichung gehört zur Näherung für schwaches Gravitationsfeld bis 1/ρ2 und αG hat wieder die Bedeutung der gravitativen Kopplungskonstante, die für jede Probemasse m0 einen anderen Wert aufweist. Für die Zusammensetzung von αG gilt auch hier Gleichung (3). Hierdurch kann Gleichung (7) etwas umgeschrieben werden

 

                (7a)

 

Über die physikalische Bedeutung dieser Gleichung gilt es noch nachzudenken. …..

 

Für den Leser dieser Zeilen gilt wieder das schon oben geschriebene. J

 

 

 

Zu 3) Dirac-Gleichung (DG)

Später!

 

 

 

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Copyright by Steffen Haase, Leipzig (2010)

 

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Erstausgabe im Internet:                   28.02.2010

Letzte inhaltliche Änderung:            07.03.2010
Letzte Schreibfehlerkorrektur:         07.03.2010